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Fonction logarithmique néperien (pour attendre)

lundi 10 juillet 2006, par idfolles

Le jeu de mot néperien pour attendre, ne perd rien pour attendre.

DEFINITION


La fonction logarithme néperien est défini comme la primitive

de f(x) = {1\over x} qui s’annule en 1.

L’interprétation graphique est que ln(a) représente l’aire en ua entre la courbe de 1\over x et l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation x=1 et x=a.

Si a=1 ln(a) = ln1 = 0

Si a<1 lna est négatif

Si a>1 lna est positif

Dans tous les cas a>0, on ne peut prendre la ln que d’un nombre positif et non nul

Donc l’ensemble de définition de f(x) = {1\over x} est ]0&nbsp;;+\infty [

Calculer les ensembles de définition de

f(x) = ln(3x + 6)

g(x) = ln(-4x + 2)

h(x) = \ln(2x^{2} - 5x + 3)

QUELQUES PROPRIETES

ln(ab) = lna + lnb

ln(a\over b) = lna - lnb

ln(a^{n}) = nlna

loga = lna\over ln10 c’est le log décimale

log1 = 0

log10 = 1

log100 = 2

log1000 = 3 etc...

EQUATIONS

lnx = a si et seulement si x = e^{a}

car la fonction exponentielle f(x) = e^{x} est la fonction réciproque (dit aussi inverse) de ln.

Ainsi lnx = 1 ssi x = e^{1} = e = environ 2,718
Donc ln(e) = 1

SENS DE VARIATION

D’après la définition de ln si f(x) = lnx alors f’(x) = 1\over x

Donc f’(x) est toujours positive sur ]0&nbsp;;+\infty [

Donc ln est une foction strictement croissante.

\lim_{x \to 0^{+}} lnx = -\infty Donc asymptote verticale x=0

\lim_{x \to +\infty} lnx = +\infty

COURBE REPRESENTATIVE

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courbe ln

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