Nouveautés sur le Web
Au delà du fond
J’ai enfin touché le fond
Le fond de la déprime
J’ai enfin fait le détour
Le détour par mon chagrin
Aujourd’hui je suis lavé
Lavé des idées trop noires
Aujourd’hui je me suis dit
Non je ne suis pas détruit
Le jour est enfin venu
D’oublier les impasses
Et de fair’ quelques gestes
Des petits pas bienfaiteur
Et sauvé des folles eaux
J’ai retrouvé cette envie
Car j’ai maintenant compris
Qu’au delà du noir est la Vie
Algèbre : Groupes
Ce que j’ai retenu du cours d’algèbre licence : les groupes Cours de Brigitte Duffaud (CTU Besançon)
Chapitre 1 : Groupe
définition : Ensemble muni d’une loi interne possédant les propriétés AES Associativité, Elément neutre, Symétrique
Un groupe peut être commutatif ou abélien si pour tout x,y, xy = yx
exemples de groupe
groupe diédral à quatre éléments D4 des transformations du plan le laissant globalement invariant
groupe des racines quatrième de l’unité
groupe quaternionien
Sous groupe : si tout élément du sous groupe a son symétrique dans le sous groupe et si toute somme (ou produit) de deux éléments du sous groupe est encore élément du sous groupe.
Sous groupe engendrée par une partie.
= p0p1…..pn, pi élément de P U P-1
C’est le plus petit sous-groupe contenant P
Groupe monogène, groupe inifini, groupe cyclique
Tout groupe d’ordre p, p premier, est cyclique (car pour a élément de ce groupe est d’ordre diviseur de p or p est premier donc est le groupe)
Loi et table de composition
Treillis d’un groupe
algorithmes de fabrication d’un treillis d’un groupe fini d’ordre n : 1.On calcule pour tous les éléments de G leurs différentes puissances.
2.On ajoute à chaque sous-groupe ainsi créé, un élément de plus dans la partie qu’il engendre jusqu’à obtenir le groupe G
3.On a le schéma suivant à chaque étape
Si H ou K est normal dans G alors = HK = xy, x élément H y élément K
Tous sous-groupes de G est d’ordre diviseur de n.
Pour les groupes cycliques, il faut connaître les propriétés suivantes :
= e, a, 
si | a | = d
=
ssi b = ai i tel que 0 < i < d i étranger à d
si b = ai i tq 0 < i < d d l’ordre de a alors est d’ordre d/pgcd(i,d)
si est d’ordre d, pour tout diviseur u de d on a le groupe cyclique < ad/u> d’ordre d/u
Chapitre 2 : Homomorphismes
Il existe deux groupes d’ordre 4 non isomorphes D4 et ?4 et tous les sous groupes d’ordre 4 sont isomorphes à l’un des deux.
Automorphismes intérieur : ha(x) = axa-1
Un sous groupe H est dit normal (ou distingué ou invariant) si pour tout a élément de G ha(H) inclu dans H
Sous grouoe engendré par des sous groupes normaux
H0,H1,H2,…..,Hn
= H0H1H2…..Hn ssi tous les sous-groupes sont normaux
= HK si au moin l’un des sous-groupe est normal
Homomorphismes de Z dans G.
Il existe un unique homomorphisme h de Z dans G tel que h(1) = a h(n) = an ou na si groupe G noté de façon additive (na veut dire a+a+a+….+a n fois et pas n fois a ce qui ne signifierait rien)
est cyclique d’ordre n ssi an = e
Tout les sous-groupes de Z sont de la forme aZ.
Ensembles des propriétés vues en exercices :
Chapitre 3 : Classe modulo et groupes quotients
Soit G un groupe et H un sous-groupe. On crée la relation d’équivalence suivante : x équivalent à y ssi x-1y élément de H.
La classe de a élément de G est l’ensemble aH
Etant donné le caractère bijectif entre H et aH et le fait que l’on est une relation d’équivalence on en déduit que tout sous groupe de G est d’ordre diviseur de celui de G
On appelle indice (G :H) le nombre d’élément d’une classe modulo H Soit H et K deux sous groupes de G : on a (G :K)=(G :H)(H :K).
(G :H) divise |G|
Groupes quotients G/H est constitué de toutes les classes modulo H de G,
Si H est (très important) un sous groupe normal de G, il existe un homomorphisme surjectif q dit homomorphisme canonique de passage au quotient, de G dans G/H tel que ker q = H. Cet homomorphisme canonique q associe à tout élément de G la classe modulo H de cet élément.
Double portrait
Mais jamais tu ne pourras voir ce qu’autrui ressent
